そろばん教室の算数講座

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第2回　1から順番に足したら？　　＜先生向けの数学解説編＞

前回同様、自然数の和で10までのものを考えました。

今回、先生はそろばん教室らしく読み上げ算をつかって自然数の和を順に求めていきました。
最初の問題は 「願いましては、1円では？」 「1円」でした。
ここでは、この読み上げ算を数学的にシグマ記号を使って表記してみることにします。

シグマを習うのは高校での数列の授業ですが、小学生が行う簡単な計算に、このような高校数学の内容を当てはめてみると逆によく理解できる場合もあります。

シグマ記号を使って１からｎまでの自然数の和をあらわす書き方は、下のようになります。


この左辺は「ｋに1から順に、２、３、４、５・・・とｎまで数字を代入していき、その答えを全部たした和をもとめる」という記号です。 そして、右辺は「このかたちになったら、ｎと（n+1）をかけて２でわれば、その和が求められますよ」という意味です。
とにもかくにも、やってみましょう。

今回の読み上げ算は、「1円では」という、超つくほど単純なものでした。
これは１（始めの数）から１（終わりの数）まで、結局１だけ・・・　という問題なので、�狽ﾌ下の部分は、初めの１が、ｋ＝１となってはいります。�狽ﾌ上の部分は終わりなので、これも１です。
上にのっかっている、ｎが１になったので、右辺のｎを1に変えます。

$\sum _{k=1}^{1}k=\frac{\mathrm{1(1}+\mathrm{1)}}{2}$

ｋ＝１とｋに１をいれたら、ｋは１になるだけ…　なので和ももちろん、１。
ちゃんと１になるか、右辺を計算してみましょう。ちゃんと１になりますね。当たり前だけど「なんだかすごい！」って思いません？

次の読上げ算は 「願いましては、1円なり、2円では？」 「3円」でした。
これもシグマ記号で書いてみましょう。

今度は１（始めの数）から２（終わりの数）まで。始まりは変わらないので�狽ﾌ下の部分はｋ＝１、終わりが２なので上の部分は２になります。
上にのっかっている、ｎが２になったので、右辺のｎは２になります。

$\sum _{k=1}^{2}k=\frac{\mathrm{2(2}+\mathrm{1)}}{2}$

先程と同じようにｋ＝１とｋに１をいれて、ｋは１。今度は２までなので、ｋ＝２も作らなければなりません。といってもｋに２をいれてｋは２です。「この１と２をたした和を求めなさい」というのがこの記号の意味です。
和はもちろん3なのですが、ちゃんと３になるか、右辺を計算してみましょう。ちゃんと３になります。「上手くできてるな」って思いません？

次は 「願いましては、1円なり、2円なり、3円では？」「6円」です。同様にします。
$\sum _{k=1}^{3}k=\frac{\mathrm{3(3}+\mathrm{1)}}{2}=6$

ちゃんと６が求められます。

すると、先生が黒板に書いた式が短く記述できます。
シグマを使うと

最後に今回の数字の神様のきれい好きは、２倍すればきれいに数字が並ぶという話でした。
これは
$2\sum _{k=1}^{n}k=\mathrm{2・}\frac{\mathrm{n(n}+\mathrm{1)}}{2}=n(n+1)$

と説明できます。

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